Question

已知函数f（x）=

3

sinx-acosx（x∈R）的图象经过点（

π

3

，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）代点可求a值，可得解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin(x-

π

6

)，易得周期为T=2π，解2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点(

π

3

，1)，
∴

3

sin

π

3

-acos

π

3

=1，即

3

2

-

1

2

a=1，解得a=1．
∴f(x)=

3

sinx-cosx=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)=2sin(x-

π

6

)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin(x-

π

6

)．
∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．
由2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z．
可得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为：[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈Z

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题．