Question

已知直线L：x-y+3=0与椭圆

x2

16

+

y2

4

=1相交于A、B两点，求弦AB的长以及中点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点P（x₀，y₀）．联立

x-y+3=0 x2 16 + y2 4 =1

，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点P（x₀，y₀）．
联立

x-y+3=0 x2 16 + y2 4 =1

，化为5x²+24x+20=0．
∴x₁+x₂=-

24

5

，x₁x₂=4．
∴x0=

x1+x2

2

=-

12

5

，y₀=x₀+3=

3

5

，
∴P(-

12

5

，

3

5

)．
|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(- 24 5 )2-4×4]

=

4 22

5

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．