Question

若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=

cos α -sin α sin α cos α

 对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=

0 1 2 1 0

所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵M，再求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（x₀，y₀），根据矩阵变换的公式求出对应的点P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，将点P的坐标代入曲线C方程，化简即得曲线C'的方程．

解答： 解：（Ι）∵点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=

cos α -sin α sin α cos α

 对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
∴

acosα-bsinα=-b asinα+bcosα=a

得

cosα=0 sinα=1

       …（3分）
即M=

0 -1 1 0

，由M^-1M=

1 0 0 1

得M^-1=

0 1 -1 0

．…（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）是曲线C：x²+y²=1上任意一点，
则点P（x₀，y₀）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）
则有

x y

=

0 1 2 1 0

x0 y0

，即

x0=y y0=2x

又∵点P在曲线C：x²+y²=1上，
∴4x²+y²=1，即曲线C'的方程为椭圆4x²+y²=1．

点评：本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵与变换，考查了曲线方程的求法等基本知识，考查运算求解能力，