题目内容
设f（x）=
+xlnx，g（x）=x3-x2-3．
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果对任意x1，x2∈[0，2]都有g（x1）-g（x2）≤M成立，求满足上述条件的最小整数M．
| a |
| x |
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果对任意x1，x2∈[0，2]都有g（x1）-g（x2）≤M成立，求满足上述条件的最小整数M．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）求出导数，切点和切线的斜率，应用点斜式方程写出切线方程；
（2）首先将不等式转化为[g（x1）-g（x2）]max≤M，然后求出g（x）的导数，求出单调区间和极值，最值，得到M的不等式，求出最小整数．
（2）首先将不等式转化为[g（x1）-g（x2）]max≤M，然后求出g（x）的导数，求出单调区间和极值，最值，得到M的不等式，求出最小整数．
解答：
解：（1）当a=4时，f（x）=
+xln x，
f′（x）=-
+ln x+1，
∴f（1）=4，f′（1）=-3，
∴y-4=-3（x-1）．
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-7=0；
（2）对任意x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≤M成立，
等价于：[g（x1）-g（x2）]max≤M，
g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x-
），
由上表可知：g（x）min=g（
）=-
，g（x）max=g（2）=1，
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min=
，即M≥
，
∴满足条件的最小整数M=5．
| 4 |
| x |
f′（x）=-
| 4 |
| x2 |
∴f（1）=4，f′（1）=-3，
∴y-4=-3（x-1）．
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-7=0；
（2）对任意x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≤M成立，
等价于：[g（x1）-g（x2）]max≤M，
g（x）=x3-x2-3，g′（x）=3x2-2x=3x（x-
| 2 |
| 3 |
| x | 0 | （0，
|
|
（
|
2 | ||||||
| g′（x） | - | 0 | + | ||||||||
| g（x） | -3 | 递减 | 极（最）小值-
|
递增 | 1 |
| 2 |
| 3 |
| 85 |
| 27 |
[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min=
| 112 |
| 27 |
| 112 |
| 27 |
∴满足条件的最小整数M=5．
点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，同时考查转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4-an（n∈N*），则a5=（ ）
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，已知椭圆C1：
如图，已知在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2．
如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M、E分别是AB和AB1的中点，点F在BC上，且满足BF=1，FC=3．