Question

已知动圆M与⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设动圆的半径为r，然后根据动圆M与⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．

解答： 解：设动圆的半径为r，
而圆x²+（y-1）²=1的圆心为O₁（0，1），半径为1；
圆x²+（y+1）²=4的圆心为O₂（0，-1），半径为2．
依题意得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，
则|MO₂|-|MO₁|=（2+r）-（1+r）=1＜|O₁O₂|，
所以点M的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线的上支，且2a=1，c=1，
∴a=

1

2

，b=

3

2

，
∴动圆圆心M的轨迹方程是

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（y≥

1

2

）．

点评：本题以两圆的位置关系为载体，考查双曲线的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是双曲线是关键．