题目内容
平面上三个向量
，
，
，满足|
|=1，|
|=
，|
|=1，
•
=0，则
•
的最大值是 ．
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| 3 |
| OC |
| OA |
| OB |
| CA |
| CB |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由于满足|
|=1，|
|=
，|
|=1，
•
=0，建立如图所示的直角坐标系，可得A（1，0），B（0，
），可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．再利用向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性即可得出．
| OA |
| OB |
| 3 |
| OC |
| OA |
| OB |
| 3 |
解答：
解：∵满足|
|=1，|
|=
，|
|=1，
•
=0，
如图所示，
∴A（1，0），B（0，
），
可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
∴
=（1-cosθ，-sinθ），
=（-cosθ，
-sinθ），
∴
•
=-cosθ（1-cosθ）-sinθ（
-sinθ）=-cosθ-
cosθ+1=-2sin（θ+
）+1≤3，
当且仅当θ=
时取等号．
∴
•
最大值是3．
故答案为：3．
| OA |
| OB |
| 3 |
| OC |
| OA |
| OB |
如图所示，
∴A（1，0），B（0，
| 3 |
可设C（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）．
∴
| CA |
| CB |
| 3 |
∴
| CA |
| CB |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
当且仅当θ=
| 4π |
| 3 |
∴
| CA |
| CB |
故答案为：3．
点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性，属于中档题．
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