Question

已知椭圆C

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

2

2

．直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若线段AB的垂直平分线通过点(0，-

1

2

)，证明：2k²+1=2m；
（3）在（2）的前提下，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用待定系数法求出a，b的值即可求出椭圆的标准方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立，转化成关于x的一元二次方程利用根与系数的关系即可证明；
（3）借助于弦长公式表示出三角形的面积公式，再求出面积的最大值即可．

解答： 解：（1）设椭圆C的标准方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由已知可得

e= c a = 2 2 2b=2 a2=b2+c2

解得a²=2，b²=1．
故椭圆C的标准方程

x2

2

+y2=1． 

（2）联立方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
当△=8（2k²-m²+1）＞0，
即2k²+1＞m²①时，x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，x₁•x₂=

2m2-2

1+2k2

．
所以

x1+x2

2

=

-2km

1+2k2

，

y1+y2

2

=

m

1+2k2

．
又

y1+y2 2 -(- 1 2 )

x1+x2 2 -0

=-

1

k

，
化简整理得：2k²+1=2m②．

（3）代②入①得：0＜m＜2．
又原点O到直线AB的距离为d=

|m|

1+k2

．
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=2

1+k2

4k2-2m2+2

1+2k2

．
所以S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

|m| 4k2-2m2+2

1+2k2

．
而2k²+1=2m且0＜m＜2，
则S_△AOB=

1

2

4m-2m2

，0＜m＜2．
所以当m=1，即k²=

1

2

时，S_△AOB取得最大值

2

2

．

点评：本题考查的知识点椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．