Question

函数f（x）=

ax+b

x2+1

是定义在R上的奇函数，且f（1）=

1

2

．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并用定义证明判断出的结论；
（3）判断f（x）有无最值？若有，求出最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数f（x）=

ax+b

x2+1

为奇函数，且f（1）=

1

2

，可得 f（-1）=-

1

2

，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）直接利用单调性的定义即可证明；
（3）利用判别式求值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=b=0
又f（1）=

a

2

=

1

2

，
则a=1，故a=1，b=0
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）令y=f（x），由于其定义域为R
则关于x的方程yx²-x+y=0有任意实数根，即△=1-4y²
那么-

1

2

≤y≤

1

2

，且f（-1）=-

1

2

，f（1）=

1

2

故f（x）_min=f（-1）=-

1

2

，f（x）_max=f（1）=

1

2

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．