Question

已知函数f（x）=-x²+2x+b²-b+1（b∈R），若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是

 

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Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：考查函数f（x）的图象与性质，得出函数f（x）在[-1，1]上是单调增函数，由f（x）_min＞0求出b的取值范围即可．

解答： 解：∵函数f（x）=-x²+2x+b²-b+1的对称轴为x=1，
且开口向下，
∴函数f（x）在[-1，1]上是单调递增函数，
而f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=f（-1）=-1-2+b²-b+1＞0，
解得b＜-1或b＞2，
∴b的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了利用函数的图象与性质求不等式的解集的问题，解题时应熟记基本初等函数的图象与性质，是基础题．