Question

设数列|a_n|的前n项和为S_n，a₁=7，已知a_n+1=6S_n+7（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求证：{a_n}是等比数列，并求a_n．
（Ⅱ）设b_n=log₇a_n，T_n是数列{

3

bnbn+1

}的前n项和，求使T_n＞

1

4

（n²-5n）对所有的n∈N⁺都成立的最大正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）在已知数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到a_n+1=7a_n（n≥2），再求出数列第二项后即可说明{a_n}是等比数列，由等比数列的通项公式求得a_n；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₇a_n，进一步代入

3

bnbn+1

，由裂项相消法求得数列{

3

bnbn+1

}的前n项和T_n，求出其最小值，代入T_n＞

1

4

（m²-5m）求解一元二次不等式得答案．

解答： （Ⅰ）证明：由a_n+1=6S_n+7，得
a_n=6S_n-1+7（n≥2），
两式作差得：a_n+1-a_n=6a_n，即a_n+1=7a_n（n≥2）．
又a₁=7，代入a_n+1=6S_n+7，得a₂=6a₁+7=6×7+7=49，
∴

a2

a1

=7=

an+1

an

(n≥2)，即{a_n}是等比数列，且首项为7，公比为7，
∴an=a1qn-1=7n；
（Ⅱ）b_n=log7an=log77n=n，

3

bnbn+1

=

3

n(n+1)

=3(

1

n

-

1

n+1

)，
则Tn=3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=3(1-

1

n+1

)
要使T_n＞

1

4

（m²-5m）对所有的m∈N⁺都成立，则

1

4

（m²-5m）＜（T_n）_min，
而当n=1时(Tn)min=

3

2

，
∴

3

2

＞

1

4

(m2-5m)，即m²-5m-6＜0，
∴-1＜m＜6．
∴使T_n＞

1

4

（m²-5m）对所有的n∈N⁺都成立的最大正整数m的值为5．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了数列不等式的解法，是中档题．