Question

如图，DC垂直平面ABC，∠BAC=90°，AC=

1

2

BC=kCD，点E在BD上，且BE=3ED．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）若二面角B-AE-C的大小为120°，求k的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）过E点作EF⊥BC与点F，连AF，由已知条件得EF∥DC，从而EF⊥平面ABC，进而EF⊥BC，又AF⊥BC，由此能证明BC⊥AE．
（2）法一（空间向量法）以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出k的值．
法二：（综合几何法）过F作FG⊥AE于G点，连GC，GB，由AE⊥BC，得AE⊥平面BCG，所以AE⊥CG，AE⊥BG，所以∠BGC为B-AE-C的平面角，由此能求出能求出k的值．

解答： （Ⅰ）证明：过E点作EF⊥BC与点F，
连AF，由已知条件得EF∥DC
所以EF⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以EF⊥BC；
又∠BAC=90°，AC=

1

2

BC，所以∠ABF=30°，
所以AB=

3

2

BC，

BE

BD

=

BF

BC

=

3

4

，BF=

3

4

BC，
所以

BF

AB

=

AB

BC

=

3

2

，所以△BAF与△BCA相似，所以∠BFA=90°，即AF⊥BC，
又AF∩EF=F，于是BC⊥平面AEF，又AE?平面AEF，
所以BC⊥AE．
（2）解法一（空间向量法）
如图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(

3

2

，0，0)，B(0，-

3

2

，0)，C(0，

1

2

，0)，E(0，0，

3

4k

)，
于是

AE

=（-

3

2

，0，

3

4k

），

AC

=（-

3

2

，

1

2

，0），

AB

=（-

3

2

，-

3

2

，0），
设平面ABE的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），
则

AB • n1 =- 3 2 x1- 3 2 y1=0 AE • n1 =- 3 2 x1+ 3 4k z1=0

，令z₁=1，得

n1

=（

3

2k

，-

1

2k

，1）．
设平面ACE的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），
则

AC • n2 =- 3 2 x2+ 1 2 y2=0 AE • n2 =- 3 2 x2+ 3 4k z2=0

，令z₂=1，得

n2

=（

3

2k

，

3

2k

，1），|cos120°|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

3 k2 +1 • 1 k2 +1

，解得：k=

2+ 13 3

．
解法二：（综合几何法）
过F作FG⊥AE于G点，连GC，GB，
由AE⊥BC，得AE⊥平面BCG，所以AE⊥CG，AE⊥BG，
所以∠BGC为B-AE-C的平面角，
设AC=1，则AF=

3

2

，EF=

3

4k

，所以GF=

3

2 3+4k2

，
于是GB=3

1+k2 3+4k2

，GC=

3+k2 3+4k2

，
于是由cos120°=

BG2+CG2-BC2

2BG•CG

，得到k=

2+ 13 3

．

点评：本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．