Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=

1

2

，2a_n=a_n-1（n≥2）；等差数列{b_n}，其中b₃=2，b₅=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在数列{b_n}中是否存在一项b_m（m为正整数），使得b₃，b₅，b_m成等比数列，若存在求m的值；若不存在，请说明理由．
（3）若c_n=（b_n+3）a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接由已知可知数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）由已知求出等差数列的公差，代入等差数列的通项公式求得b_n，假设b₃，b₅，b_m成等比数列，由等比数列的性质列式求得m的值；
（3）把{a_n}的通项公式和{b_n}的通项公式代入c_n=（b_n+3）a_n，由错位相减法求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由已知可得，数列{a_n}是以a₁=

1

2

为首项，以2为公比的等比数列，
∴an=a1qn-1=

1

2

•2n-1=2n-2；
（2）在等差数列{b_n}中，由b₃=2，b₅=6，得d=

b5-b3

5-3

=

6-2

2

=2，
∴b_n=b₂+（n-2）d=2+2（n-2）=2n-2，
若存在一项b_m，使得b₃，b₅，b_m成等比数列，则b52=b3•bm，
即8²=4（2m-2），解得m=9；
（3）由c_n=（b_n+3）a_n，得cn=(2n+1)2n-2，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=3•2^-1+5•2⁰+…+（2n-1）•2^n-3+（2n+1）•2^n-2，
2Tn=3•20+5•21+…+(2n-1)•2n-2+（2n+1）•2^n-1．
∴-Tn=

3

2

+21+22+…+2n-1-(2n+1)•2n-1=

3

2

+

2(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n-1
=

3

2

+2n-2-(2n+1)•2n-1．
∴Tn=(n-

1

2

)•2n+

1

2

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．