Question

若曲线y=

1

xlnx

与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：根据导数判断单调性：f（x）在（0，

1

e

）的单调递增，在（1，

1

e

），（1，+∞）的单调递减，画出图象判断即可．

解答： 解：∵y=

1

xlnx

，定义域为：（0，1）∪（1，+∞）
∴y′=-

1+lnx

(xlnx)2

，
①当-

1+lnx

(xlnx)2

＞0时，即0＜x＜

1

e

，
②当-

1+lnx

(xlnx)2

＜0时，即

1

e

＜x＜1，x＞1，
③当-

1+lnx

(xlnx)2

=0时，即x=

1

e

，
∴f（x）在（0，

1

e

）的单调递增，在（1，

1

e

），（1，+∞）的单调递减，
f（

1

e

）=-e，
∵曲线y=

1

xlnx

与直线y=a恰有一个公共点，
∴a=-e或a＞0，

点评：本题考查了函数的性质，运用导数判断单调性，极值，画出图象，数形结合的思想解决问题，难度不大．