Question

已知命题P：关于x的不等式

x4-x2+1

x2

＞m的解集为{x|x≠0，且x∈R}；命题Q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，求实数m的取值范围？

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题P：利用基本不等式可得

x4-x2+1

x2

=x2+

1

x2

-1≥1，由于关于x的不等式

x4-x2+1

x2

＞m的解集为{x|x≠0，且x∈R}，可得m＜1．命题Q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数，可得5-2m＞1，解得m．若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则P与Q必然一真一假．

解答： 解：命题P：由不等式

x4-x2+1

x2

=x2+

1

x2

-1≥2

x2• 1 x2

-1=1，当且仅当x=±1时取等号，
∵关于x的不等式

x4-x2+1

x2

＞m的解集为{x|x≠0，且x∈R}，
∴m＜1．
命题Q：f（x）=-（5-2m）^x是减函数，∴5-2m＞1，解得m＜2．
若P或Q为真命题，P且Q为假命题，
∴P与Q必然一真一假．
当P真Q假时，

m＜1 m≥2

，解得m∈∅；
当Q真P假时，

m≥1 m＜2

，解得1≤m＜2．
综上可得：实数m的取值范围是[1，2）．

点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．