Question

已知x²-y²=1，求

1

x2

+

2y

x

范围．

Answer 1

考点：双曲线的参数方程,简单线性规划的应用

专题：坐标系和参数方程

分析：本题可以先利用用参数方程表示双曲线，再利用参数方程化简所示代数式，利用配方法、结合函数图象，研究二次函数的最值，得到本题结论．

解答： 解：∵x²-y²=1，
∴

x=secθ y=tanθ

，（θ为参数，θ≠kπ+

π

2

，k∈Z），
∴

1

x2

+

2y

x

=cos²θ+

2tanθ

secθ

=cos²θ+sinθ
=-sin²θ+sinθ+1
=-（sinθ-

1

2

）²+

5

4

．
∵θ≠kπ+

π

2

，k∈Z，
∴sinθ∈（-1，1），
∵当sinθ=-1时，-（sinθ-

1

2

）²+

5

4

=-

9

4

+

5

4

=-1，
当sinθ=

1

2

时，-（sinθ-

1

2

）²+

5

4

=

5

4

，
∴-1＜

1

x2

+

2y

x

≤

5

4

．
∴

1

x2

+

2y

x

的取值范围是：（-1，

5

4

]．

点评：本题考查了双曲线的参数方程及其应用，本题难度不大，属于基础题．