Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b-

1

2

c=acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积为2

3

，且2abcosC-bc=a²+c²，求a．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（1）直接利用余弦定理化简已知条件，然后求角A的余弦函数值，即可求解；
（2）利用△ABC的面积为2

3

，求出bc，利用余弦定理以及2abcosC-bc=a²+c²，求出bc，然后通过余弦定理求a．

解答： 解：（1）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b-

1

2

c=acosC=a

a2+b2-c2

2ab

，
可得2b²-bc=a²+b²-c²，即c²+b²-bc=a²，又由余弦定理c²+b²-2bccosA=a²，
∴cosA=

1

2

，∴A=60°．
（2）△ABC的面积为2

3

，可得

1

2

bcsinA=2

3

，解得bc=8．
∵2abcosC-bc=a²+c²，
∴2ab

a2+b2-c2

2ab

-bc=a²+c²，
可得a²+b²-c²-bc=a²+c²，
即b²-2c²-bc=0，又bc=8，
解得c²=8，b²=8，
由余弦定理a²=c²+b²-2bccosA=8+8-2×8×

1

2

=8
∴a=2

2

．

点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．