Question

设奇函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，且f（-1）=0，则不等式

f(-x)-f(x)

x

＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：奇函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数．不等式

f(-x)-f(x)

x

＞0即为

-2f(x)

x

＞0，即有

x＞0 f(x)＜0=f(1)

或

x＜0 f(x)＞0=f(-1)

，解出它们，再求并集即可．

解答： 解：奇函数f（x）在（-∞，0）上为增函数，
则f（x）在（0，+∞）上为增函数．
又f（-1）=0，则f（1）=0，
由于f（-x）=-f（x），不等式

f(-x)-f(x)

x

＞0即为

-2f(x)

x

＞0，
即有

x＞0 f(x)＜0=f(1)

或

x＜0 f(x)＞0=f(-1)

则

x＞0 x＜1

或

x＜0 x＞-1

，
则有0＜x＜1或-1＜x＜0．
即解集为（-1，0）∪（0，1）
故答案为：（-1，0）∪（0，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．