题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx-1为偶函数，且f（-1）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，求实数k的取值范围．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，求实数k的取值范围．
考点：函数恒成立问题,二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（1）利用二次函数f（x）=ax2+bx-1为偶函数，且f（-1）=0可求得b=0，a=1，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）依题意，分离参数k，可得k≤x+
-6恒成立，x∈（0，1）．利用双钩函数y=x+
-6在（0，1）上单调递减的性质，即可求得实数k的取值范围．
（2）依题意，分离参数k，可得k≤x+
| 3 |
| x |
| 3 |
| x |
解答：
解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx-1为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即ax2-bx-1=ax2+bx-1，解得b=0；
又f（-1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=x2-1．
（2）∵对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，
∴（x-2）2-1≥（2+k）x在x∈（0，1）时恒成立，
∴k≤x+
-6恒成立，x∈（0，1）．
∵y=x+
-6在（0，1）上单调递减，
∴x→1时，y=x+
-6→-2，
∴k≤-2．
∴f（-x）=f（x），即ax2-bx-1=ax2+bx-1，解得b=0；
又f（-1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=x2-1．
（2）∵对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，
∴（x-2）2-1≥（2+k）x在x∈（0，1）时恒成立，
∴k≤x+
| 3 |
| x |
∵y=x+
| 3 |
| x |
∴x→1时，y=x+
| 3 |
| x |
∴k≤-2．
点评：本题考查二次函数的性质，着重考查恒成立问题，考查转化思想，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
若x，y∈R+，x+y=1，则x•y有（ ）
A、最小值
| ||
B、最大值
| ||
C、最小值
| ||
D、最大值
|
设a=2
，b=log2
，c=log
，则（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| A、c＞b＞a |
| B、c＞a＞b |
| C、a＞b＞c |
| D、a＞b＞c |
集合A={x||x-1|＜2}，B={x|2-x-x2＞0}，则A∩B=（ ）
| A、（-2，3） |
| B、（-1，1） |
| C、（1，3） |
| D、（-1，2） |