Question

对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得M≤

|a+b|+|a-b|

|a|

，对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，再由

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2可得，M≤2，由此可得m的值；
（Ⅱ）由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上

1

2

和

5

2

对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此求得|x-1|+|x-2|≤2的解集．

解答： 解：（Ⅰ）不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，
即M≤

|a+b|+|a-b|

|a|

对于任意的实数a（a≠0）和b恒成立，
故只要左边恒小于或等于右边的最小值．
因为|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，
当且仅当（a-b）（a+b）≥0时等号成立，
即|a|≥|b|时，

|a+b|+|a-b|

|a|

≥2成立，
也就是

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值是2，
故M的最大值为2，即 m=2．
（Ⅱ）不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2．
由于|x-1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上

1

2

和

5

2

对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故|x-1|+|x-2|≤2的解集为：{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．