题目内容
已知
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），且
与
满足|k
+
|=
|
-k
|，其中k＞0．
（1）用k表示
•
；
（2）求向量a，b的最小值，并求向量a，b的夹角大小．
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）用k表示
| a |
| b |
（2）求向量a，b的最小值，并求向量a，b的夹角大小．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用
分析：（1）由
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），可得|
|=|
|=1，结合|k
+
|=
|
-k
|，利用平方法，可得k2
2+
2+2k
•
=3（
2-2k
•
+k2
2），整理后可用k表示
•
；
（2）由（1）中函数的解析式，利用基本不等式，可分析出
•
的最小值，代入向量夹角公式，可得此时
，
夹角θ的大小．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
（2）由（1）中函数的解析式，利用基本不等式，可分析出
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：
解：∵|k
+
|=
|
-k
|两边平方，
得：|k
+
|2=3|
-k
|2
∴k2
2+
2+2k
•
=3（
2-2k
•
+k2
2），
即
•
=
．
∵
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ），
∴
2=1，
2=1，
∴
•
=
；
（2）∵k＞0，
∴（k-1）2≥0，从而k2+1≥2k，
即
≥
=
，当且仅当k=1取得最小值．
∴
•
的最小值为
，
此时cosθ=
=
，
∴θ=60°，
即
与
的夹角为60°．
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
得：|k
| a |
| b |
| a |
| b |
∴k2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
即
| a |
| b |
(3-k2)
| ||||
| 8k |
∵
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
∴
| a |
| b |
| 1+k2 |
| 4k |
（2）∵k＞0，
∴（k-1）2≥0，从而k2+1≥2k，
即
| 1+k2 |
| 4k |
| 2k |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
此时cosθ=
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∴θ=60°，
即
| a |
| b |
点评：本题考查的知识点是平面向量的综合题，熟练掌握向量模计算的计算方式及平面向量夹角公式，是解答的关键．
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