Question

10．某公司在新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为$\frac{4}{5}$，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则不能获得奖金．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为$\frac{2}{5}$，每次中奖均可获得奖金400元．
（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；
（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
（Ⅲ）已知公司共有100人在活动中选择了方案甲，试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知X可能的取值为0，500，1000，分别求出相应的概率，由此能求出某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列．
（Ⅱ）求出方案甲抽奖所获奖金X的均值，选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），从而抽奖所获奖金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，由此得到选择方案甲较划算．
（Ⅲ）选择方案甲不获奖的概率为$\frac{7}{25}$，这些员工不获奖的人数Y～B（100，$\frac{7}{25}$），由此能求出这些员工不获奖的人数．

解答 解：（Ⅰ）由题意知X可能的取值为0，500，1000，（1分）
$P（X=0）=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}•\frac{1}{2}•\frac{1}{5}=\frac{7}{25}$，
$P（X=500）=\frac{4}{5}•\frac{1}{2}=\frac{2}{5}$，
$P（X=1000）=\frac{4}{5}•\frac{1}{2}•\frac{4}{5}=\frac{8}{25}$（4分）
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为

X	0	500	1000
P	$\frac{7}{25}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{25}$

（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方案甲抽奖所获奖金X的均值$E（X）=500•\frac{2}{5}+1000•\frac{8}{25}=520$，（6分）
若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
则$E（ξ）=3•\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$，（8分）
抽奖所获奖金X′的均值E（X′）=E（400ξ）=400E（ξ）=480，
因边E（X）＞E（ξ），
故选择方案甲较划算．    （10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知选择方案甲不获奖的概率为$\frac{7}{25}$，
这些员工不获奖的人数Y～B（100，$\frac{7}{25}$），
$E（Y）=100×\frac{7}{25}=28$，故这些员工不获奖的人数约为28人．（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．