Question

2．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}+1}}$+1，a∈R以下说法正确的是（　　）
①函数f（x）的图象是中心对称图形
②函数f（x）有两个极值
③函数f（x）零点个数最多为三个
④当a＞0时，若1＜m＜n，则f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 根据y=f（x）-1的奇偶性判断①；令f′（x）=0，根据解的个数判断②；根据方程f（x）=0的解得个数判断③；利用f（x）在（1，+∞）上的单调性和极限判断④．

解答 解：对于①，令g（x）=f（x）-1=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$，则g（x）是奇函数，
∴g（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴f（x）的图象关于（0，1）对称，故①正确；
对于②，当a=0时，f（x）=1，显然f（x）无极值，故②错误；
对于③，令f（x）=0得$\frac{ax}{{x}^{2}+1}+1=0$，∴x²+ax+1=0，
显然方程不可能3解，即f（x）不可能有3个零点，故③错误；
对于④，当x＞1，a＞0时，f′（x）=$\frac{a-a{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，又x→+∞时，f（x）=$\frac{a}{x+\frac{1}{x}}+1$→1，
作出f（x）在（1，+∞）上的大致函数图象如图，

由图象可知$\frac{f（m）+f（n）}{2}$＞f（$\frac{m+n}{2}$），即f（m）+f（n）＞2f（$\frac{m+n}{2}$）．故④正确．
故选C．

点评 本题考查了函数单调性、奇偶性的判断，属于中档题．