Question

1．已知函数f（x）=ax+elnx与g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-elnx}$的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜-e
• B． a＞1
• C． a＞e
• D． a＜-3或a＞1

Answer 1

分析 由题意可知：令f（x）=g（x），化简求得t²+（a-1）t-a+1=0，根据h（x）的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．

解答 解：由ax+elnx=$\frac{{x}^{2}}{x-elnx}$，整理得：a+$\frac{elnx}{x}$=$\frac{1}{1-\frac{elnx}{x}}$，
令h（x）=$\frac{elnx}{x}$，且t=h（x），
则t²+（a-1）t-a+1=0，
求导h′（x）=$\frac{e（1-lnx）}{{x}^{2}}$=0，解得：x=e，
∴h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，
则当x→+∞时，h（x）→0，如图所示，
由题意可知方程有一个根t₁在（0，1）内，另一个根t₂=1或t₂=0或t₂∈（-∞，0），
当t₂=1方程无意义，当t₂=0时，a=1，t₁=0不满足题意；
则t₂∈（-∞，0），由二次函数的性质可知：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＜0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+1＜0}\\{1+（a-1）-a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＞1，
故选：B．

点评 本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．