Question

17．已知圆O的方程为 x²+y²=9，若抛物线C过点A（-1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠0）
• B． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（x≠0）
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（y≠0）
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1（y≠0）

Answer 1

分析 设抛物线C的焦点为F（x，y），准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，通过|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6＞|AB|=2，说明点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，求出焦点F的轨迹方程．

解答 解：设抛物线C的焦点为F（x，y），准线为l，
过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，
其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|+BB′||=2|OP|=6．
因为抛物线过点A，B，所以|AA′|=|FA|，|FB|=|BB′|，
所以|FA|+|FB|=|AA′|+|BB′|=6＞|AB|=2，
所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$（y≠0），
故选：D．

点评 本题主要考查了抛物线的定义与椭圆的标准方程，考查了学生数形结合的思想及计算能力．