题目内容
18．鄂西北某湿地公园里，A，B两地相距2km，现在准备在湿地公园里围成一片以AB为一条对角线的平行四边形区域，建立生态观光园．按照规划，围墙总长度为8km．求：（1）平行四边形另两个顶点C，D所在的轨迹方程；
（2）观光园的最大面积能达到多少？
（3）该湿地公园里有一条直线型步行小径刚好过点A，且与AB成45°角，现要对步行小径进行整修改造，但考虑到今后湿地公园里的步行小径要重新设计改造，因此该步行小径可能被观光园围住的部分暂不整修，那么暂不整修的部分有多长？
分析 （1）以AB为x轴、以AB的中垂线直角坐标系，设四边形的顶点C的坐标是（x，y），由题意得|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，则动点轨迹为椭圆，由条件求出椭圆方程；
（2）由图和三角形的面积公式求出观光园的面积S=2S△ABC=2|yC|，在由椭圆的范围求出观光园的最大面积；
（3）将实际问题转化为：直线l与椭圆相交求弦长问题，设P（x1，y1），Q（x2，y2），再联立直线方程和椭圆方程消去y后，由根与系数的关系、以及弦长公式进行求解．
解答 解：（1）以AB为x轴，以AB的中垂线直角坐标系，
如右图：
设四边形的顶点C的坐标是（x，y），则D（-x，-y）且A（-1，0），B（1，0），
由题意得，|CA|+|CB|=4＞|AB|=2，
所以点C轨迹为椭圆，且a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$，
四边形另两个顶点的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由图得，观光园的最大面积S=2S△ABC=2×$\frac{1}{2}$|AB||yC|=2|yC|，
因为|yC|≤$\sqrt{3}$，则2|yC|≤2$\sqrt{3}$，
所以农艺园的最大面积能达到2$\sqrt{3}$km2；
（3）因为直线型步行小径刚好通过点A，且l与AB成45°角，所以直线l的方程为：y=x+1，
设直线l与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$相交于点P、Q两点，则步行小径可能被观光园围住的部分为PQ，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由直线与椭圆联立得，7x2+8x-8=0，
所以x1+x2=-$\frac{8}{7}$，x1x2=-$\frac{8}{7}$，
则|PQ|=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{64}{49}-4×（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$（km），
所以暂不整修的部分为$\frac{24}{7}$km．
点评 本题考查圆锥曲线在实际生活中的应用，涉及椭圆的定义、标准方程和性质，直线与圆的位置关系：弦长公式、韦达定理等应用，解题时要认真审题、仔细解答，题目新颖，体现数学与实际生活的关系．
| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $-\frac{3}{2}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1$ |
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{3π}{8}$ | C． | $\frac{3π}{4}$ | D． | $\frac{5π}{8}$ |