Question

20．已知α∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，β∈[-$\frac{π}{2}$，0]，且（α-$\frac{π}{2}$）³-sinα-2=0，8β³+2cos²β+1=0，则sin（$\frac{α}{2}$+β）的值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 构造思想，转化为函数问题，零点与方程的根的关系，利用单调性找出α，β的关系，求解即可．

解答 解：∵（α-$\frac{π}{2}$）³-sinα-2=0，
可得：（α-$\frac{π}{2}$）³-cos（$α-\frac{π}{2}$）-2=0，即（$\frac{π}{2}$-α）³+cos（$\frac{π}{2}-α$）+2=0
由8β³+2cos²β+1=0，
得（2β）³+cos2β+2=0，
∴可得f（x）=x³+cosx+2=0，
其${x}_{1}=\frac{π}{2}-α$，x₂=2β．
∵α∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，β∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴$\frac{π}{2}-α$∈[-π，0]，2β∈[-π，0]
可知函数f（x）在x∈[-π，0]是单调增函数，方程x³+cosx+2=0只有一个解，
可得$\frac{π}{2}-α=2β$，即$α+2β=\frac{π}{2}$，
∴$\frac{α}{2}+β=\frac{π}{4}$，
那么sin（$\frac{α}{2}$+β）=sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了函数的转化思想，零点与方程的根的关系，单调性的运用．属于偏难的题．