Question

已知函数f（x）=asinxcosx+sin（

π

2

-2x），若f（

π

8

）=

2

．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）f（

π

24

-x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而利用已知求得a，则函数的解析式可得，进而根据正弦函数的性质求得周期和最小值．
（Ⅱ）确定f（

π

24

-x）再利用整体法依据正弦函数的单调性求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

2

sin2x+cos2x，
∵f（

π

8

）=

2

4

a+

2

2

=

2

，解得a=2，
∴f（x）=

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，f（x）_min=-

2

．
（Ⅱ）f（

π

24

-x）=

2

sin[2（

π

24

-x）+

π

4

]=-

2

sin（2x-

π

3

），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z，
∴函数的单调增区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，二倍角公式的应用以及三角函数图象与性质．