题目内容
已知函数f（x）=1+
，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
| 1 |
| x |
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）直接根据函数单调性的定义证明即可；
（Ⅱ）根据（1），函数的单调性进行求解最大值和最小值即可．
（Ⅱ）根据（1），函数的单调性进行求解最大值和最小值即可．
解答：
（1）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）=
-
=
，
∵1≤x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴故f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知，
∵f（x）在[1，4]上是减函数，
∴当x=1时，有最大值2；
当x=4时，有最小值
．
∴f（x1）-f（x2）=
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=
| x2-x1 |
| x1•x2 |
∵1≤x1＜x2，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴故f（x）在[1，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知，
∵f（x）在[1，4]上是减函数，
∴当x=1时，有最大值2；
当x=4时，有最小值
| 5 |
| 4 |
点评：本题重点考查了函数的单调性的证明及求解最值中的应用，属于中档题．
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| 1 |
| 2 |
| π |
| 24 |
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|
