Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a．
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）降幂后化简函数f（x），利用周期函数的定义求周期，由复合函数的单调性求单调区间；
（Ⅱ）由x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并求得函数取最大值时x的取值集合．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=

3

sin2x+cos2x+a+1
=2sin(2x+

π

6

)+a+1．
∴f（x）的周期为π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）令t=2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，
则y=f（x）=2sint+a+1，t∈[

π

6

，

7π

6

]．
∴当t=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）_max=4，
∴2+a+1=4，即a=1．

点评：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了复合函数的单调性，训练了函数值域的求法，是中档题．