Question

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊆{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{b_n}的通项公式为b_n=n，求S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得数列{a_n}的公比是正数，由a₁=1，a₃=4，a₅=16，得q=2，由此能求出an=2n-1．
（Ⅱ）由等差数列{b_n}的通项公式为b_n=n，得S_n=1×n+2（n-1）+2²（n-2）+2³（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，由此利用错位相减法能求出S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵{a_n}为递增的等比数列，
∴数列{a_n}的公比是正数，
又{a₁，a₃，a₅}⊆{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
∴a₁=1，a₃=4，a₅=16，
从而q2=

a5

a3

=4，解得q=2，a_n=a1qn-1=2^n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵等差数列{b_n}的通项公式为b_n=n，
S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁．
∴S_n=1×n+2（n-1）+2²（n-2）+2³（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，①
2S_n=2n+2²（n-2）+2³（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，
②-①，得：
S_n=-n+2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ
=-n+

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．