Question

若x²+y²=2，设z=

1

x2

+

2y

x

，则z的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平均值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，则z=

1

x2

+

2y

x

=

1

2cos2θ

+

2 2 sinθ

2 cosθ

，化简为

1

2

（tanθ+2）²-

3

2

，再利用二次函数的性质求得函数z的最小值．

解答： 解：∵x²+y²=2，
∴设x=

2

cosθ，y=

2

sinθ，
z=

1

x2

+

2y

x

=

1

2cos2θ

+

2 2 sinθ

2 cosθ

=

1+4sinθcosθ

2cos2θ

=

sin2θ+cos2θ+4sinθcosθ

2cos2θ

=

1

2

tan²θ+2tanθ+

1

2

=

1

2

（tanθ+2）²-

3

2

，
故当tanθ=-2时，函数z取得最小值为-

3

2

，
故答案为：-

3

2

．

点评：本题主要考查三角代换、同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，属于中档题．