Question

已知函数f（x）=cos²x+sinx-1，（x∈R）．
（Ⅰ）求f（

7π

6

）的值；
（Ⅱ）当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用同角三角函数间的基本关系化简，整理为二次函数的顶点形式，将x=

7π

6

代入计算即可求出f（

7π

6

）的值；
（Ⅱ）由x的范围求出sinx的范围，进而确定出f（x）的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos²x+sinx-1=1-sin²x+sinx-1=-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

1

4

，
∴f（

7π

6

）=-（-

1

2

-

1

2

）²+

1

4

=-

3

4

；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

2π

3

]，∴sinx∈[-

1

2

，1]，
∴sinx-

1

2

∈[-1，

1

2

]，
∴（sinx-

1

2

）²∈[0，1]，
∴-（sinx-

1

2

）²∈[-1，0]，
即-（sinx-

1

2

）²+

1

4

∈[-

3

4

，

1

4

]，
则f（x）的取值范围为[-

3

4

，

1

4

]．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及正弦函数的值域，熟练掌握基本关系是解本题的关键．