Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB₁是否存在点E，使得DE∥面AA₁C₁C？若存在，请说明点E的位置，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）（本小问只理科学生做）求二面角C-A₁B₁-C₁的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）因为四边形AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的性质；
（Ⅱ）当点E是线段AB₁的中点时，有DE∥平面AA₁C₁C．证明时连结A₁B交AB₁于点E，连结DE，利用线面平行的判定定理．
（Ⅲ）推理∠C₁A₁C是二面角C-A₁B₁-C₁的平面角．

解答： （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为四边形AA₁C₁C为正方形，所以AA₁⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，
且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
所以AA₁⊥平面ABC．…（4分）（文6分）
（Ⅱ）当点E是线段AB₁的中点时，有DE∥平面AA₁C₁C．
证明：连结A₁B交AB₁于点E，连结DE．

因为点E是A₁B中点，点D是线段BC的中点，
所以DE∥A₁C．
又因为DE?平面AA₁C₁C，A₁C?平面AA₁C₁C，
所以DE∥平面AA₁C₁C．…（8分）（文12分）
（Ⅲ）因为AA₁⊥平面ABC，所以AA₁⊥AB．
又因为AC⊥AB，所以AB⊥平面AA₁C₁C，
所以A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，
所以A₁B₁⊥A₁C₁，A₁B₁⊥A₁C，
所以∠C₁A₁C是二面角C-A₁B₁-C₁的平面角．
易得tan∠C₁A₁C=

C1C

C1A1

=1，
所以二面角C-A₁B₁-C₁的平面角为45°．…（12分）

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，考查二面角的定义，解题时要认真审题，注意空间中平行与垂直的合理运用．