Question

已知函数f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]，（a＞0且a≠1，a是参数）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立；求a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1））转化（

1

a

-2）x+1]＞0，（

1

a

-2）x＞-1，分类讨论求解．
（2）f（x）有意义得：

a＞0，a≠1 ( 1 a -2)+1＞0 2( 1 a -2)+1＞0

，再利用函数的性质求解即可．

解答： 解：（1）∵（

1

a

-2）x+1]＞0，（

1

a

-2）x＞-1，．
当

1

a

-2＞0时，即0＜a＜

1

2

时，x＞

-1

1 a -2

=

a

2a-1

定义域为（

a

2a-1

，+∞），
当

1

a

-2=0时，即=

1

2

定义域为R，
当

1 a -2＜0 a＞0，且a≠1

即a＞

1

2

且a≠1时，x＜

a

2a-1

定义域为（-∞，

a

2a-1

），
（2）当x∈[1，2]时，f（x）有意义得：

a＞0，a≠1 ( 1 a -2)+1＞0 2( 1 a -2)+1＞0

解得0＜a＜

2

3

设t=（

1

a

-2）x+1则y=log_at关于t是减函数．
①当0＜a＜

1

2

，即

1

a

-2≥0，由x∈[1，2]，t=（

1

a

-2）x+1≥1
∴f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]≤0，这与f（x）＞0恒成立矛盾．
②当

1

2

＜a＜

2

3

，即-

1

2

＜

1

a

-2＜0由x∈[1，2]有0＜t=（

1

a

-2）x+1＜1
∴f（x）=log_a[（

1

a

-2）x+1]＞0符合题意，
综上所述：a的取值范围是（

1

2

，

2

3

）

点评：本题考查了指数函数的性质，不等式的求解，属于中档题．