Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l过点（0，1）．
（1）若k=4，求抛物线到直线l距离最近的点的坐标；
（2）若直线l与抛物线C相交于A、B两点，且OA⊥OB，求直线l的斜率k的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）先设直线y=x+t是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离，于抛物线方程联立消去y，再根据判别式等于0求得t，代入方程求得x，进而求得y，答案可得．
（2）联立直线方程与抛物线方程，利用消元法得到关于x的一元二次方程，由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求解．

解答： 解：（1）设直线y=4x+t是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离，
代入化简得16x²+（8t-4）x+t²=0
由△=0得t=

1

4

，
代入方程得x=

1

16

，y=4×

1

16

+1=

5

4

∴P为（

1

4

，

5

4

）
故答案为（

1

4

，

5

4

）．
（2）根据题意可得；直线l的斜率存在且不为0，
直线l方程为：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程得：

y=kx+1 y2=4x

消去y得k²x²+（2k-4）x+1=0，
∴x₁x₂=

1

k2

，y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=

4

k

，
又由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

1

k2

+

4

k

=0，k=-

1

4

，
故直线l的斜率k的值为-

1

4

．

点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．属于综合题．