Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：面PAB⊥平面PDC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

解答： 证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．
所以在△CPA中，EF∥PA，
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD
又PA=PD=

2

2

AD，所以PA²+PD²=AD²
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=

π

2

，即PA⊥PD．
因为CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
所以PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
所以面PAB⊥面PDC．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．