Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．给出下列命题：
①函数f（x）一定是周期函数；
②函数f（x）在区间[-6，-4]上为增函数；
③直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；
④函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，令x=-2，易求f（-2）=0，利用f（x）为偶函数可知f（2）=0，于是可得f（x+4）=f（x），可判断①；
②，依题意易知函数f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，可判断②；
③，利用偶函数f（x）是周期为4的函数的性质可判断③；
④，利用函数的单调性质及周期性可判断④．

解答： 解：对于①，∵对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，
∴令x=-2，则f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的函数，故①正确；
对于②，∵x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴偶函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，在[-2，0]上是减函数，又其周期为4，
∴函数f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，故②错误；
对于③，∵y=f（x）为偶函数，∴直线x=0（即y轴）是函数f（x）图象的一条对称轴，又函数f（x）是周期为4的函数，
∴直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故③正确；
对于④，∵f（-2）=f（2）=0，函数f（x）是周期为4的函数，
∴f（-6）=f（-2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在区间[-6，-4]，[-2，0]，[2，4]上均为减函数；
在区间[-4，-2]，[0，2]，[4，6]上是增函数，
∴函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点，故④正确．
综上所述，正确命题的个数是3个，
故选：C．

点评：本题考查抽象函数的应用，突出考查函数的单调性、周期性、对称性与函数的零点，属于中档题．