题目内容
为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=7-
（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；并求年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
（2）若规定年促销费用不能超过2万元，则年产量为多少时，厂家利润最大？最大利润为多少？
| k |
| t+1 |
（1）将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；并求年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
（2）若规定年促销费用不能超过2万元，则年产量为多少时，厂家利润最大？最大利润为多少？
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数最值的应用
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：（1）先求出k的值，再根据产品成本包括固定投入和再投入两部分，可得该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；即有y=45-
-t=45-(
+t+1)+1，利用基本不等式，可求该厂家2014年的厂家利润最大．
（2）运用导数求得函数y在0＜t≤2为减函数，则当t=2时，x=5，y最大且为31．
| 36 |
| t+1 |
| 36 |
| t+1 |
（2）运用导数求得函数y在0＜t≤2为减函数，则当t=2时，x=5，y最大且为31．
解答：
解：（1）由题意有1=7-
，得k=6，故x=7-
．
故y=1.5×
×x-（6+12x）-t，
=3+6x-t=3+6(7-
)-t=45-
-t（t≥0）．
即有y=45-
-t=45-(
+t+1)+1，
由基本不等式得，
+t+1≥2
=12，
当且仅当
=t+1，即t=5时等号成立．
故y=45-
-t=45-(
+t+1)+1=46-(
+t+1)≤46-12=34，
当且仅当t=5时，y有最大值34，
所以2014年的年促销费用投入5万元时，该厂家利润最大，最大利润为34万元．
（2）由y=45-
-t=45-(
+t+1)+1，且0＜t≤2，
则y′=
-1＜0，即y为减函数，则当t=2时，x=5，y最大且为31．
则年产量为5万件时，厂家利润最大，最大利润为31万元．
| k |
| 1 |
| 6 |
| t+1 |
故y=1.5×
| 6+12x |
| x |
=3+6x-t=3+6(7-
| 6 |
| t+1 |
| 36 |
| t+1 |
即有y=45-
| 36 |
| t+1 |
| 36 |
| t+1 |
由基本不等式得，
| 36 |
| t+1 |
| 36 |
当且仅当
| 36 |
| t+1 |
故y=45-
| 36 |
| t+1 |
| 36 |
| t+1 |
| 36 |
| t+1 |
当且仅当t=5时，y有最大值34，
所以2014年的年促销费用投入5万元时，该厂家利润最大，最大利润为34万元．
（2）由y=45-
| 36 |
| t+1 |
| 36 |
| t+1 |
则y′=
| 36 |
| (t+1)2 |
则年产量为5万件时，厂家利润最大，最大利润为31万元．
点评：本题考查函数模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=| 2 |
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；
（2）求二面角A-BF-E的余弦值．
已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an，n∈N*，且a5=
，若函数f（x）=sin2x+2cos2
，记yn=f（an），则数列{yn}的前9项和为（ ）
| π |
| 2 |
| x |
| 2 |
| A、0 | B、-9 | C、9 | D、1 |
已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、29 | ||
D、
|
海中一小岛，周围3.8mile内有暗礁，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东80°，航行8n mile以后，望见这岛在北偏东60°，如查这艘海轮不改变航行继续前进，有没有触礁的危险．（精确到0.001，cos10°=0.9848）