Question

已知数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，且a₅=

π

2

，若函数f（x）=sin2x+2cos²

x

2

，记y_n=f（a_n），则数列{y_n}的前9项和为（　　）

• A、0
• B、-9
• C、9
• D、1

Answer 1

考点：数列递推式,数列与三角函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：确定数列{a_n}是等差数列，利用等差数列的性质，可得f（a₁）+f（a₉）=f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，由此可得结论．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，n∈N^*，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵a₅=

π

2

，∴a₁+a₉=a₂+a₈=a₃+a₇=a₄+a₆=2a₅=π，
∵f（x）=sin2x+2cos²

x

2

，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a₁）+f（a₉）=sin2a₁+cosa₁+1+sin2a₉+cosa₉+1=2，
同理f（a₂）+f（a₈）=f（a₃）+f（a₇）=f（a₄）+f（a₆）=2，
∵f（a₅）=1，
∴数列{y_n}的前9项和为9．
故选C．

点评：本题考查等差数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．