Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=

2

，PB=1，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADP⊥平面DEF；
（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点M，使二面角M-DF-E的大小为60°，若存在求出EM：MA，若不存在，则说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD，已知条件推导出PB⊥BD，PB⊥AB，从而得到EF⊥平面ABCD，由此能够证明AD⊥面DEF，从而得到平面ADP⊥平面DEF．
（2）以E为原点，CB、CD为x轴、y轴，建立空间直角坐标系E-xyz，利用向量法能求出EM：MA=3：4．

解答： （1）证明：连结BD，由题意知△ABD是等边三角形，∴BD=1，
∴BD²+PB²=PD²，∴PB⊥BD，
又∵AB²+PB²=PA²，∴PB⊥AB，且AB∩BD=B，
∴PB⊥平面ABCD，∵PB∥EF，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AD，
又△BCD是等边三角形，∴BC⊥DE，
∵AD∥BC，∴AD⊥DE，
又DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF．
∵AD?平面ADP，∴平面ADP⊥平面DEF．
（2）解：∵EF⊥平面ABCD，
∴以E为原点，CB、CD为x轴、y轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
则D（

3

2

，0，0），F（0，0，

1

2

），A（

3

2

，1，0），

EM

=λ

EA

=λ(

3

2

，1，0)=（

3

2

λ，λ，0），

DM

=(

3

2

λ-

3

2

，λ，0)，

DF

=(-

3

2

，0，

1

2

)，
平面DMF的法向量为

n

=(λ，

3

2

-

3

2

λ，

3

λ)，
平面DEF的法向量

m

=(0，1，0)，
由|cos＜

n

，

m

＞|=

1

2

，得λ=

3

7

，
∴EM：MA=3：4．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查两条线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．