Question

在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为k_OM，k_AB，则k_OM•k_AB=-

b2

a2

．
（1）类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线中也成立的性质；
（2）证明（1）中的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）类比椭圆的性质，直接叙述．
（2）设A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）利用点差法能证明k_OM•k_AB=

b2

a2

．

解答： （1）解：在平面直角坐标系xOy中，已知AB是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为k_OM，k_AB，则k_OM•k_AB=

b2

a2

．…（4分）
（2）证明：设A（x₁，y₁），A（x₁，y₁），M（x₀，y₀）
由

x12 a2 - y12 b2 =1 x22 a2 - y22 b2 =1

，得：

x12-x22

a2

-

y12-y22

b2

=0，（6分）
∴

(x1+x2)(x1-x2)

a2

-

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∵M（x₀，y₀）为AB的中点
∴x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，（9分）
∴

2x0(x1-x2)

a2

-

2y0(y1-y2)

b2

=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

b2 x0

a2y0

，（11分）
∵k_OM=

y0

x0

，（13分）
∴k_OM•k_AB=

b2

a2

．（16分）

点评：本题考查双曲线性质的类比叙述，考查两直线的斜率乘积为定值的证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．