Question

函数f（x）=3lnx+1，g（x）=

1

2

ax²+2x+b   
（1）f（x）与g（x）在交点P（1，1）处有相同的切线，求a，b值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

3

x

，g′（x）=ax+2；从而由f（x）与g（x）在交点P（1，1）处有相同的切线得到f′（1）=g′（1），g（1）=

1

2

a+2+b=1，从而解得；
（2）化简函数h（x）并求定义域，再求导h′（x）=

3

x

-（ax+2）=

3-ax2-2x

x

，从而化h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间为h′（x）＜0有解，从而求得．

解答： 解：（1）由题意，f′（x）=

3

x

，g′（x）=ax+2；
∵f（x）与g（x）在交点P（1，1）处有相同的切线，
∴f′（1）=3=g′（1）=a+2，
g（1）=

1

2

a+2+b=1，
解得a=1，b=-

3

2

；
（2）h（x）=f（x）-g（x）=3lnx+1-（

1

2

ax²+2x+b）的定义域为（0，+∞），
h′（x）=

3

x

-（ax+2）=

3-ax2-2x

x

，
若使h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，
则只需使h′（x）＜0有解，
即-ax²-2x+3＜0在（0，+∞）上有解，
若a＞0，成立，
若a=0，当x＞

3

2

时成立；
若a＜0，∵-

-2

-2a

=-

1

a

＞0，
∴只需使△=4+4×3×a＞0；
故-

1

3

＜a＜0；
综上所述，a的取值范围为（-

1

3

，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用及单调性的应用，属于中档题．