Question

已知f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），g（x）=4^-x-m•（2^-x）-9（m∈R），A={x|f（x）=x-2}．
（1）若A={1}，解不等式f（x）＞1；
（2）若b∈Z，-3∈A，x₁，x₂为方程f（x）=0的两个实根，且

4

x1

+

1

x2

=-

1

2

，
①求b，c的值
②若对任意的t₁∈[-2，2]，总存在t₂∈[-2，2]，使得f（t₁）=g（t₂）成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件即可得到1是方程x²+（b-1）x+c+2=0的二重根，所以由韦达定理即可求出b，c，从而解出不等式f（x）＞1；
（2）①先由-3∈A便容易得到c=3b-14，而根据韦达定理及求根公式可得到

x1+x2=-b x1x2=c x2= -b± b2-4c 2

，所以

4

x1

+

1

x2

=

3x2+x1+x2

x1x2

=

3(-b± b2-4c ) 2 -b

c

=-

1

2

，所以联立c=3b-14即可求出b=2，c=-8；
②根据条件即知f（x）在[-2，2]上的值域是g（x）在[-2，2]上的子集，容易求出f（x）在[-2，2]上的值域为[-9，0]．换元，令2^-x=t，t∈[

1

4

，4]，所以得到一个关于t二次函数h（t）=t²-mt-9，所以根据二次函数的单调性及取得顶点情况讨论m的取值，求出每个m取值下的h（t）的值域，使该值域包含区间[-9，0]，从而能得到m的取值范围．

解答： 解：（1）A={x|x²+（b-1）x+c+2=0}；
∵A={1}；
∴1是方程x²+（b-1）x+c+2=0的二重根；
∴

1-b=2 c+2=1

；
∴b=-1，c=-1；
∴由f（x）＞1得，x²-x-2＞0，解得：x＜-1，或x＞2；
∴f（x）＞1的解为{x|x＜-1，或x＞2}；
（2）①-3∈A；
∴-3b+c+14=0；
∴c=3b-14；
x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根；
∴

x1+x2=-b x1x2=c x2= -b± b2-4c 2

；
∴

4

x1

+

1

x2

=

3x2+x1+x2

x1x2

=

3(-b± b2-4c ) 2 -b

c

=-

1

2

；
整理成：±3

b2-4c

=5b-c；
∴将c=3b-14带入上式可得，±3

b2-12b+56

=2b+14；
∴对上式两边平方并整理可得：5b²-164b+308=0；
解得b=2，或

154

5

（舍去）；
∴c=-8；
②f（x）=x²+2x-8；
由②中的条件知，f（x）在[-2，2]上的值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集；
f（x）=（x+1）²-9；
∴f（x）在[-2，2]上的值域为[f（-1），f（2）]=[-9，0]；
设2-x=t(t∈[

1

4

，4])，h（t）=t²-mt-9；
∴函数h（t）的对称轴为t=

m

2

；
（一）若

m

2

＜

1

4

，即m＜

1

2

，h（t）在[

1

4

，4]上单调递增；
∴h（t）在[

1

4

，4]上的值域为[h(

1

4

)，h(4)]=[-

1

4

m-

143

16

，-4m+7]；
∴

- 1 4 m- 143 16 ≤-9 -4m+7≥0

，解得

1

4

≤m≤

7

4

；
∴

1

4

≤m＜

1

2

；
（二）若

1

4

≤

m

2

≤4，即

1

2

≤m≤2，则：h（

1

4

），h（4）中必有一个为h（t）在[

1

4

，4]上的最大值，最小值为h（

m

2

）=-

m2

4

-9；
显然最小值-

m2

4

-9≤-9，所以只需满足-

1

4

m-

143

16

≥0，或-4m+7≥0；
∴m≤

7

4

，或m≤-

143

4

（舍去）；
∴

1

2

≤m≤

7

4

；
（三）若

m

2

＞4，即m＞8，h（t）在[

1

4

，4]上单调递减；
∴h（t）的值域为[h（4），h（

1

4

）]=[-4m+7，-

1

4

m-

143

16

]；
∴

-4m+7≤-9 - 1 4 m- 143 16 ≥0

；
解得m∈∅；
∴综上得m的取值范围为[

1

4

，

7

4

]．

点评：考查描述法表示集合，韦达定理，以及解一元二次不等式，一元二次方程的求根公式，换元法求函数的值域，二次函数的单调性及二次函数在闭区间上值域的求法．