Question

已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为

2

a
（1）求它的外接球的体积
（2）求他的内切球的表面积．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）四棱锥为正四棱锥，根据该四棱锥的侧棱长为

2

a，底面是边长为a的正方形，确定四棱锥的高，进而可求球的半径，可得外接球的体积；
（2）利用等体积求出内切球的半径，即可求内切球的表面积．

解答： 解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的侧棱长为

2

a，底面是边长为a的正方形，
∴四棱锥的高为

6

2

a，
设外接球的半径为R，则有R²=（

2

2

a）²+（

6

2

a-R）²，
∴R=

6

3

a，
∴外接球的体积为

4

3

π×(

6

3

a)3=

8 6

27

πa3；
（2）设内切球的半径为r，则

1

3

×a2×

6

2

a=

1

3

×(a2+4×

1

2

×a×

2a2- a2 4

)×r，
∴r=

42 - 6

12

a
∴表面积为4πr²=

4- 7

3

πa2．

点评：本题考查正四棱锥、考查球的半径，比较基础．