Question

对于函数g（x）=（x-1）²e^x，
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若m∈N⁺，问g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）是否存在两个不同的解，若存在，求m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性求得单调区间；
（2）令h（x）=（x-1）²e^x-lnx+

x2

2

-mx，x∈[1，+∞），利用导数判断其单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）g（x）=（x-1）²e^x，
∴g′（x）=（x+1）（x-1）e^x
∴由g′（x）＞0得，x＜-1或x＞1；由g′（x）＜0得，-1＜x＜1；
∴g（x）的递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），递减区间是（-1，1）．
（2）g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）存在两个不同的解，等价于g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）有两个不等的根．
令h（x）=（x-1）²e^x-lnx+

x2

2

-mx，x∈[1，+∞）
h′（x）=（x²-1）e^x-

1

x

+x-m，h^″（x）=（x-1）²e^x+

1

x2

+1，
∴h^″（x）≥0，h′（x）是[1，+∞）上的增函数，又h′（1）=-m＜0，

lim

n→∞

h′(x)=+∞，
∴存在x₀∈（1，+∞）使得h′（x₀）=0，故h（x）在（1，x₀）单调递减，在（x₀，+∞）单调递增，
又h（1）=

1

2

-m＜0，
∴g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）至多有一个解，故不存在

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性单调区间知识，考查学生问题的转化划归能力及运算能力，属难题．