Question

已知a，b，c∈R
（1）若|a|＜1且|b|＜1，求证：ab+1＞a+b；
（2）由（1），运用类比推理，若|a|＜1且|b|＜1且|c|＜1，求证：abc+2＞a+b+c；
（3）由（1）（2），运用归纳推理，猜想出一个更一般性的结论．（不要求证明）

Answer 1

考点：不等式的证明,进行简单的合情推理

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用作差法进行证明即可；
（2）由（1），运用类比推理，可得（ab）c+1＞ab+c，代入即可证明；
（3）由（1）（2），运用归纳推理，可得若|a_i|＜1，i=1，2，3，…，n，则有a₁a₂a₃…a_n+（n-1）＞a₁+a₂+a₃+…+a_n．

解答： （1）证明：由|a|＜1且|b|＜1知，ab+1-a-b=（a-1）（b-1）＞0得ab+1＞a+b…（4分）
（2）证明：由（1）得（ab）c+1＞ab+c，
所以abc+2=[（ab）c+1]+1＞（ab+c）+1=（ab+1）+c＞a+b+c…（10分）
（3）解：若|a_i|＜1，i=1，2，3，…，n，
则有a₁a₂a₃…a_n+（n-1）＞a₁+a₂+a₃+…+a_n…（14分）

点评：本题考查不等式的证明，考查合情推理，正确运用类比推理是关键．