Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若函数y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则f（2014）的值为（　　）

• A、2014
• B、-2014
• C、0
• D、4

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=-2可求f（2）及函数的周期，利用所求周期即可求解

解答： 解：∵函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数
∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2可得f（2）=f（-2）+f（2），∴f（-2）=f（2）=0，
从而可得f（x+4）=f（x），
即函数是以4为周期的周期函数
∴f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=0
故选：C．

点评：本题主要考出了函数的图象的平移及函数图象的对称性的应用，利用赋值求解抽象函数的函数值，函数周期的求解是解答本题的关键所在．