Question

已知函数f（x）=x+

2

x-1

-1
（1）记g（x）=f（x+1），试证明：g（x）图象关于原点对称．
（2）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）记g（x）=f（x+1），试证明：g（x）图象关于原点对称．
（2）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+

2

x-1

-1
∴g（x）=f（x+1）=x+1+

2

x+1-1

-1=x+

2

x

，
则g（-x）=-x-

2

x

=-（x+

2

x

）=-g（x），
则g（x）是奇函数，则图象关于原点对称．
（2）∵f（x）=t（x²-2x+3）|x|，
∴x+

2

x-1

-1=t（x²-2x+3）|x|，
即

x2-2x+3

x-1

=t（x²-2x+3）|x|，
化简得t=

1

|x|(x-1)

，即

1

t

=|x|(x-1)=

x(x-1)，x＞0且x≠1 -x(x-1)，x＜0

，
作出对对应的函数图象如图：
当x＞0时，x（x-1）=（x-

1

2

）²-

1

4

≥-

1

4

，
∴要使方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，
则-

1

4

＜

1

t

＜0，
即t＜-4

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．