Question

函数f（x）=x³+ax+b（a，b∈R）的图象记为E，过点A（

1

2

，-

3

8

）作曲线E的切线有且仅有两条，求a+2b的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：设出切点，求出导数，根据斜率相等列出方程，由条件知方程有且只有两个实根，构造一个函数，即只要函数的两个极值中有一个为0，即可得到答案．

解答： 解：设切点P为（m，n），则n=m³+am+b，①
f′（x）=3x²+a，切线的斜率为3m²+a，
又P，A的斜率为

n+ 3 8

m- 1 2

=3m²+a，②
由①②得到，2m³-

3

2

m²-

1

2

a-b-

3

8

=0．③
由于过点A作曲线E的切线有且仅有两条，
故③有且只有两个实根，
令f（m）=2m³-

3

2

m²-

1

2

a-b-

3

8

，则f（m）的一个极值为0，
f′（m）=6m²-3m，
令f′（m）=0即m=0或m=

1

2

，
故f（0）=0或f（

1

2

）=0，
即a+2b=-

3

4

或a+2b=-1．
故a+2b的值为-1或-

3

4

．

点评：本题主要考查导数的一个应用：求切线方程，同时考查函数的极值与导数的关系，注意点A不一定是切点，同时必有一个极值为0，该题属于中档题．