题目内容
已知xi＞0（i=1，2，3，…n），我们知道有（x1+x2）（
+
）≥4成立．
（Ⅰ）请猜测（x1+x2+x3）（
+
+
）≥？；（x1+x2+x3+x4）（
+
+
+
）≥？
（Ⅱ）由上述几个不等式，请你猜测与x1+x2+…+xn和
+
+…+
（N≥2，n∈N*）；（有关的不等式，并用数学归纳法证明．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
（Ⅰ）请猜测（x1+x2+x3）（
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| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x4 |
（Ⅱ）由上述几个不等式，请你猜测与x1+x2+…+xn和
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
考点：数学归纳法
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：（Ⅰ）根据不等式：（x1+x2）（
+
）≥4，猜想（x1+x2+x3）（
+
+
）≥9，（x1+x2+x3+x4）（
+
+
+
）≥16．
（Ⅱ）猜测（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥n2（n≥2），再用数学归纳法证明．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x4 |
（Ⅱ）猜测（x1+x2+…+xn）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
解答：
（Ⅰ）解：(x1+x2+x3)(
+
+
)≥9，(x1+x2+x3+x4)(
+
+
+
)≥16
（Ⅱ）证明：猜测满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
+
+…+
）≥n2（n≥2），
证明如下：
（1）当n=1时，x1•
≥1，猜想成立；当n=2时，（x1+x2）（
+
）≥4，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xk）（
+
+…+
）≥k2，
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
+
+…+
+
）=（x1+x2+…+xk）（
+
+…+
）+xk+1（
+
+…+
）+（x1+x2+…+xk）
+1≥k2+2
+1=k2+2k+1=（k+1）2
则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x3 |
| 1 |
| x4 |
（Ⅱ）证明：猜测满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xn |
证明如下：
（1）当n=1时，x1•
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xk）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
| 1 |
| xk+1 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| xk |
| 1 |
| xk+1 |
(x1+x2+…+xk)(
|
则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥1都成立．
点评：本题以已知不等式为载体，考查类比推理，考查数学归纳法，关键是第二步，同时应注意利用归纳假设．
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